（７）網格就是ＣＡＥ的性命
有限元素掌握了模擬分析的品質
至此為止，已經說明過基本修養、ＣＡＥ的必要性、成為設計者ＣＡＥ根基的３Ｄ ＣＡＤ實體模型、以及可以讓設計者ＣＡＥ出人頭地的「線性靜態模擬」與「自然頻率模擬」等內容。
接下來則是無論如何都想寫的重要事項。就是「有限元素」本身。正如「有限元素法」的名稱一樣，只要是利用有限元素法來進行模擬，「元素」就跟性命一樣重要。
設計者ＣＡＥ中可以使用的元素只有以下的一種選擇。這種元素有成果、有答案，強烈建議：
在設計者用ＣＡＥ中，只能使用２階４面體。
只要能掌握住這一點，就不會有問題了。把使用哪一種元素比較好當作一種知識學習起來固然很重要，但筆者更希望能把有限元素的種類、階數、尺寸大小對於模擬結果有多大的變化影響，確實的記在心中，成為自己身體的一部分。
模擬中使用的元素種類、階數與尺寸，是影響模擬分析品質與精度的一項重要因素。換句話說，當模擬不如預期般準確時，這也是能夠抓出問題的一個要音。
甚至，元素的種類、階數與尺寸，都會改變模擬結果的馮氏應力圖。如果不明白這一點的話，對於應力值的評價就會出現誤判。
由於設計者通常都非常忙，沒有多餘的時間可以去確認有限元素的精度。所以筆者希望在這裡，給大家看一下實際上如何測試有限元素。根據觀察筆者執行的有限元素測試，大家應該能找出自己能理解的解釋與重點，這樣才是真正的知識與技術。
用來驗證的模型
這裡使用的驗證模型，就是筆者經常提及的「懸臂樑」。這次也會以改變元素的階數的方式來進行模擬。
驗證模型的尺寸與理論解如圖１所示。如果能將這個懸臂樑的模型與理論解記在心中，會發現在很多方面上都很有用。
圖１ 用來驗證的懸臂樑尺寸與理論解
元素的驗證
接下來，筆者要陸續改變元素、階數、尺寸，來執行同樣的線性靜態模擬。這裡使用的軟體是Autodesk公司的「Fusion 360」（版本：2.0.8816）
圖２ 一階四面體元素／元素尺寸３０ｍｍ
最大變形量為０．０４７８ｍｍ，這僅及理論值的２２％。
也請大家看一下應力分佈圖。在這個問題中，不論是結構、負載、限制條件通通都是對稱的狀態，照理說馮氏應力圖看起來也要是對稱的才對，結果這圖看起來應力分佈卻不對稱。
而根據理論值得知最大應力應該為１５ＭＰａ，但模擬值只到理論值１４％的２．０８ＭＰａ。如果不完全搞懂有限元素法的特性，就有可能盲信這個模擬結果了。
就以上這幾點來，一階四面體、元素尺寸３０ｍｍ的有限元素模型會得到「完全無法使用」的結果。
圖３ 一階四面體元素／元素尺寸１０ｍｍ
這裡元素的尺寸一口氣縮小到了１／３的１０ｍｍ。結果最大變形量算出來是０．１４１ｍｍ。和元素尺寸３０ｍｍ的時候相比，已經是大幅接近理論值了，但也才只到理論值的６５％左右而已。
但馮氏應力圖的應力分佈也大幅度像樣起來。不過最大應力值模擬出來的８ＭＰａ，也還是只有理論值的５３％。
到這裡為止，可知即便元素尺寸縮小到１０ｍｍ，也不到可以用的程度。
圖４ 一階四面體元素／元素尺寸５ｍｍ
一般來說元素尺寸往下調，模擬精度就會提升。所以這裡試著把元素尺寸改為５ｍｍ。結果模擬出來最大變形量０．１８９ｍｍ，則是理論值的８７％。的確是越來越接近理論值沒錯。
馮氏應力圖的２０ｍｍ方向分佈看起來也像是三明治的樣子（對稱），最大應力１２．３ＭＰａ也到了理論值的８２％，也相當接近理論值了。
不過，元素尺寸５ｍｍ的模擬水準離可以使用的程度還有段差距，仍會讓人不安。
圖５ 一階四面體元素／元素尺寸２．５ｍｍ
為了保險起見，再把元素尺寸縮小到２．５ｍｍ來模擬看看。結果模擬出來的最大變形量０．２０９ｍｍ，這是理論值的９６％。
最大應力值是１３．５ＭＰａ，則是理論值的９０％。
到了這樣左右的精度，有限元素法才能真正拿來做為設計確認之用。
二階四面體元素的測試狀況
再來則是和上述使用同樣的模型，但把元素的階數提升到二階，來重新進行模擬。因為結果圖是大同小異，這裡就予以省略，而將所有的模擬結果列於表１。
表１ 四面體元素的要素尺寸、變形與應力的整理
從元素測試中得知之事
從表１這個整理中，可以獲知許多事情。這裡就將這些事情條列出來考察看看：
就四面體來看，元素尺寸越小，節點數就會爆發性的增加。節點數當然直接影響到模擬計算時間。
一階四面體元素，會因為元素尺寸變小，而讓最大變形量增加。換句話說，一階四面體元素對元素尺寸很敏感。這樣的趨勢對於最大應來說也是一樣。
一階四面體元素就算把元素尺寸變得很小，算出來的變形量仍然比理論值小。換另外一種看法，就是「一階四面體元素是一種偏硬的元素」。
二階四面體元素，相比於一階四面體元素其應力分佈輪廓會正確很多（如圖６）
圖６ 一階四面體元素與二階四面體元素的馮氏應力圖比較（固定端）
二階四面體元素，其最大變形量不受元素尺寸的影響而呈現很穩定的狀態。只不過，最大應力就不是這樣。特別令人在意的是，當元素尺寸縮到２．５ｍｍ時，最大應力已經變成１８ＭＰａ，已經是超過理論值２０％了。這就是前述有限元素法特有的「奇異點」現象，本來不應該出現的應力值，卻單純以最大應力值在軟體中表現出來。（關於奇異點現象，後續會再詳述）
但看到這裡最需要明白的事情，還是本文一開頭所寫的：
在設計者用ＣＡＥ中，只能使用２階４面體。
最近的ＣＡＥ軟體中，會在使用自動切割功能時，將元素預設為二階四面體。也是這樣，幾乎不需要特別擔心元素的品質。只不過，自己在模擬時使用的元素，還是得要有意識地去確認掌握才行。
略談一階六面體元素
自動切割網格功能通常幾乎都是切成四面體。但在Ansys這套軟體的網格切割功能中，只要是擁有同一截面的單一形狀３Ｄ模型的話，Ansys能自動辨認出來並且切割成比四面體精度更高的六面體元素。就算有單純的圓孔，它也能自動處理而切成六面體。
為了作為參考，這裡就把同樣的懸臂樑模型改用六面體來模擬。由於Fusion 360的CAE模組沒辦法切出六面體元素，只好改用免費ＣＡＥ軟體「LISA」來模擬。其結果表示於圖７，至於其模擬數值則已經整理於表１之中。
圖７ 使用一階六面體來模擬懸臂樑的結果（元素尺寸５ｍｍ）
這個結果顯示出節點數較少，卻能獲得相對精度高的結果。
接下來，來看看圖８是以模擬「碗狀彈簧」為例的結果。這也是個形狀、負載、限制條件通通都是對稱的模型，其應力圖的等高線照理說會畫成同心圓才對。但是使用一階四面體元素的話，應力分佈看起來卻相當亂。使用二階四面體元素的話，混亂的程度就明顯變少。而使用一階六面體元素的應力，看起來是相當漂亮的同心圓。
圖８ 碗型彈簧的應力模擬與使用元素造成的馮氏應力圖的差異
網格就是ＣＡＥ的性命
至此的測試中，可以知道就算是同一個結構物，也會受到構成其模型的有限元素之種類、階數與元素尺寸的影響，而獲得大不相同的結果。甚至可以說模擬完全是由「有限元素的使用種類所支配」。
對於應力集中部，需要「更加細緻的元素切割」，也是有限元素法的重要教條之一。但在那之前，意識到「網格的均等性」更為重要。只要結構物本身是對稱的，那麼網格也必須是對稱地才會有好的結果。
最近給設計者使用的結構模擬軟體，有故意不給使用者看網格的傾向。雖然可以說這是「不讓使用者過分在意網格」的貼心設計，但說直接一點，這是一種「多管閒事」了。請無論如何，都要確認看看網格切割圖啊！並且有限「元素」法的主角，就是「元素」啊！不可能會有那種主角不登場的電影吧。
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