材料非線性的基礎與認識複雜材料模型的理論
接下來要談談「材料非線性」的部分。這要比前面提到的「幾何非線性」要稍微直覺容易理解才對，但從材料非線性對於「整體非線性的貢獻」來看，這也是非常衝擊性的項目。
到底甚麼是「材料非線性」啊？
在使用有限元素法（FEM：Finite Element Method）的程式來進行模擬之際，一定需要的資料就是「材料物性」，特別是在元件強度設計中經常使用到的線性彈性模擬中，至少要輸入「楊氏係數」與「蒲松比」這兩項物性資料。
在本連載的第二篇中，提到了建立剛性矩陣時，會需要楊氏係數與蒲松比。楊氏係數與蒲松比因為是材料本身的固有特性常數，用來表現應力與應變的對應比例關係。換句話說，因為材料是「線性」材料，在線性模擬中才能拿來使用。
然而當模擬的範圍拓寬到「非線性」之中時，有限元素法模擬軟體可以處理的非線性材料種類就是各式各樣了。相對使用頻率比較多非線性材料有「彈塑性材料」、「超彈性材料」或是「黏彈性材料」。另外，有類似潛變（Creep）行為的材料也是非線性材料。甚至黏彈性材料或潛變材料的物性還會受到「時間」的影響。
後面會再說明這些材料有怎樣的非線性行為，但大致可以說，「除了線性彈性材料以外，全部的材料都是非線性材料」。
圖１ 線性彈性材料的應力應變曲線
圖２ 彈塑性材料的應力應變曲線（有明確的降伏點：例如合金鋼之類的材料）
圖３ 彈塑性材料的應力應變曲線（沒有明確的降伏點：例如鋁合金或不銹鋼之類的材料）
圖４ 超彈性材料的應力伸長比曲線
那麼以下就來一個一個仔細看看這些材料吧。順帶一提，這裡要介紹的，只是要稍微介紹一下這種材料是甚麼東西、有怎樣的行為；希望知道更深入仔細的讀者，請找專門書籍來詳閱。
線性彈性材料與彈塑性材料
線性彈性材料
所謂的線性彈性材料，正是應力與應變的關係是線性的材料。換言之，就是適用「虎克定律」的材料。這次要主題由於是非線性材料，所以這種材料的詳細內容就省略不談了，不過既然這是一種既線性又彈性的材料，其特徵為就算發生了變形，只要把負載去除，就能回復到施加負載前的形狀。
彈塑性材料
金屬材料或某些種類的塑膠，一般來說在開始施加負載時，暫時會顯現出線性彈性的行為，但在超過「某個應力值」後，就會出現無法恢復原有形狀的塑性行為。而且在塑性領域的應力與應變關係是非線性。而且如果繼續增加負載的話，都會持續塑性變形直到最後斷裂為止。而前面那個「某個應力」，就是從彈性區域進入塑性區域的切換點，則是被稱為「降伏應力（Yield Stress）」。
在元件設計中，如果進行線性彈性模擬的時候，根據使用的軟體，不需要自己輸入楊氏係數或蒲松比、而是從軟體內建資料庫挑選材料即可（好比說「SOLIDWORKS Simulation」或「Autodesk Inventor Nastran」就可以）。不過，如果去這些軟體內建材料資料庫中確認材料的物性各數值時，常常會發現其降伏應力或最大拉伸應力也都已經定義清楚了。
其實在線性彈性模擬中，降伏應力本來就是計算中不會用到的數值。而且在線性彈性模擬中，不管應力或應變有多大，都會顯示出線性彈性的行為．．．。那麼說到到底甚麼甚麼時候會用到這個數值，答案是就在後處理的階段。具體來說，就是用計算出的應力和降伏應力的比值當作安全率顯示出來給使用者參考。因此，線性彈性模擬中的降伏應力值，就是故意放在「後處理中使用」的。
不過，在彈塑性模擬的狀況下，當模擬中應力數值超過降伏應力後，材料的行為就會從彈性變成塑性，降伏應力值就變成了非常重要的數值。也是這樣，以下想來談談使用彈塑性材料進行模擬時必要輸入的物性與該怎麼設定。
在使用彈塑性材料進行模擬時需要的物性值與設定
首先，就先單純把項目列出來，之後再來針對這些項目詳細解說。此外談到彈塑性時，會提到所謂的「流動規則（Flow Rule）」，但在商用模擬軟體中不會直接使用到，這裡就先割愛。
楊氏係數
蒲松比
降伏應力
塑性領域（降伏後）中的應力與應變關係
降伏條件
硬化法則
楊氏係數與蒲松比
關於楊氏係數與蒲松比，如前所述是在線性彈性模擬中也會用到的數值，對於各位讀者來說應該是非常熟悉的項目，這裡就簡單的說明過去。楊氏係數也會被稱為「直向彈性係數」，在符合虎克定律的彈性域中，這個數字就是決定同一方向上應力與應變關係的常數。這個數值越高，代表剛性越高、數值越小則表示越軟；因此可以說是一個非常容易判斷材料剛性的指標。
在我們經常使用的材料中，好比說合金鋼的楊氏係數值約為２１萬MPa、鋁合金則是大約７萬MPa；這些值都是材料本身的固有數值。
再來則是蒲松比，這個數值是拉伸某個物體產生應力的狀態下、沿著拉伸方向發生的應變與垂直拉伸方向產生的應變的比值。以我們經常使用的金屬材料而言，此值大多為０．３左右。如果像是橡膠這樣的非壓縮性材料，甚至會出現０．４９這樣非常接近０．５的數值。
彈塑性材料也是在進入塑性範圍前都是彈性行為，所以跟彈性模擬一樣，在非線性模擬中也都需要楊氏係數與蒲松比這兩個值。
降伏應力
降伏應力在線性彈性模擬中，是個計算上用不到的非必要值（雖說在後處理中當作安全率的分母會用到）；不過在彈塑性模擬的場合中，超過這個應力時材料的行為會發生變化，就是個超級重要的值。
然而，在模擬中用到的應力張量（Tensor）中共有九個值，到底應該拿哪一個量來和降伏應力比較呢？其實只和降伏應力一個值來比較的話，直接拿應力張量中的任何一個量去和降伏應力相比都不太適合。
於是，就考慮要導出一個等效應力值來和降伏應力比較。其實要推導這個等效應力值，可是有各式各樣的理論，還要根據使用的材料等因素來決定使用哪個理論比較適當。對於使用頻率最高的金屬材料來說，一般是使用「馮氏等效應力（von Mises Stress）」來和降伏應力比較。在給設計者使用的ＣＡＥ軟體中，通常也都是預設使用馮氏等效應力來判斷是否降伏。除了馮氏等效應力以外，還有崔氏應力（Tresca）或莫爾－庫倫（Mohr-Coulomb）應力也很有名。其中崔氏應力的降伏條件是到達材料的最大剪應力極限值時即判定為降伏。
圖５ （左）「SOLIDWORKS Simulation」與（右）「Inventor Nastran」降伏條件定義
在塑性範圍（降伏後）中應力與應變的關係
在塑性範圍中應力與應變的關係也需要另外去定義。在彈性範圍中應力與應變的關係可以用楊氏係數這樣的常數定義出來，但是在塑性範圍中應力與應變並不是簡單的直線關係，常常是用從實驗中獲得的資料點去線性內插得到的線型來近似。
此外，在這個定義下使用的應力與應變，一般不會是「公稱應力」與「工程應變」，而是「真應力（柯西應力）」與「真應變（對數應變）」，因此有必要另外定義。定義的方法，就要請各位讀者自行參照使用的軟體手冊來進行設定。
硬化法則
當金屬等彈塑性材料降伏之後，如果持續施加負載，材料就會繼續順著負載方向依照塑性範圍的應力應變關係來變形。然後到了某個狀態後除去負載，就會出現永久變形的現象。但是這在著永久變形的狀態下，如果再施加負載直到再度出現塑性變形為止，其實會發現後來的塑性不會發生在原來的降伏應力下，而是看到直到前次去除負載的應力為止，材料都是維持彈性行為，要到比之前降伏應力更大的應力值才會降伏。換句話說，我們可以把這個材料視為「被硬化」了。至於定義材料是怎麼「硬化」的規則，就叫做「硬化法則」。
一般主要使用的硬化法則，共有「等方硬化法則」、「移動硬化法則」與「混合（複合）硬化法則」三種。只要是能跑彈塑性模擬的軟體，大多都有內建這三種硬化法則。至於該使用哪一種硬化法則，就要視怎樣的塑性加工而定。此外，如圖６那樣，會有「降伏曲面」出現，但這是說材料根據降伏函數進入塑性範圍時，其應力會在這個降伏曲面上移動。在彈性範圍下，應力都會在圓形的內側。
圖６ （左）等方硬化法則與（右）移動硬化法則
一般的塑性加工大多使用等方硬化法則，但是遇到反覆加工硬化等等場合下，等方硬化法則就不適當，而是建議改用移動硬化法則。至於複合硬化法則，則是並用等方硬化法則與移動硬化法則的方式。
只不過，反覆硬化一般來說是比較複雜與專門的模擬範圍，常常得要使用這裡介紹的硬化法則以外的法則才有可能得到適當的解。就這一點來說，出現複雜而反覆塑性變化的塑性模擬，可能是更適合由這方面的專家來執行吧。
超彈性材料
現在的工業製品，不僅是使用金屬來製作，而是使用塑膠或橡膠這種高分子材料的頻率也越來越高了。以ＡＢＳ為首的所謂工程塑膠等等塑膠材料，往往在假設其具有類似金屬的變形行為而去定義材料的物性下，都能獲得相當妥當的模擬結果。
不過，如果遇到像是橡膠這種彈性非常好、也能發生很大變形的材料，使用楊氏係數或蒲松比等物性值來表示這種材質就不太適切，需要定義其他的形式。這裡就需要導入一般稱為「超彈性」的物性值來表現這種材質的特性。
為什麼需要特別為這種材質來定義物性呢？讓我們先來看看以下的彈性材料與超彈性材料的比較吧。
圖７ 超彈性材料與線性彈性材料的比較
在應變範圍非常微小的狀況下，這兩種材料其實看起來沒有甚麼太大的差異，但是應變的範圍越來越大時，就會發現兩者的行為差異越大。此外，和彈性材料最大不同之處，還是在於超彈性材料的應力應變關係並不是直線，而是類似於Ｓ型的曲線。換句話說要以彈性材料的表現方式來表示超彈性材料是非常困難且不適當的。
以下真要說起來可能需要很長的篇幅，所以這裡也先省略細節，直接介紹怎麼表示超彈性材料的方式。
超彈性材料是使用「應變能（W）」這樣的函數來表現其物性。不過，這種應變能的表現方法也有好幾種，單純用來表現橡膠的數學模型就有好幾種，好比說以下這些例子：
方程式１ Neo-Hookean
方程式２ Mooney-Rivlin
方程式３ Ogden
在上述各方程式中，C01或C10都是代表材料物性的常數，相當於彈性材料的楊氏係數。至於I則是被稱為「應變不變量」的數值；至於Ogden模型中的λ則是代表伸長比的各分量。
要取得這種材料的物性常數，基本上都是要靠材料試驗才行。從試驗中取得應力與伸長比的各個資料點，再從這些資料點中推算出常數。具體來說，就是針對這些資料點進行曲線近似（Curve Fitting）的方式來取得常數值。
因此就橡膠材料的定義而言，如果在一開始不知道C10這些值的話，就必須要在模擬程式之外，另外執行曲線近似的程式。不過也有的模擬程式的前處理器中就有內建曲線近似的工具程式了。
這裡的材料試驗，一般必須根據連續體力學的變形模式來進行「單軸拉伸」、「第二軸拉伸」、「單純剪切」等三種試驗。只不過單純剪切試驗在實施上比較困難，通常會改用平面剪切實驗來代替。
如果不適當地考慮三種模式的試驗結果來定義材料物性的話，根據狀況，可能會出現不正確的結果，甚至會出現「這完全不可能．．．」的變形模擬結果。
黏彈性材料
最後來稍微簡單介紹一下黏彈性材料。
黏彈性材料是一種行為與「時間」相關的材料。像是橡膠就是具有這種行為特徵的材料之一，如果像是凝膠狀的材料，這種行為就更明顯。如果大力拉伸以橡膠為首的高分子材料，會發現這種材料會有變硬的反應；如果小力慢慢拉的話，則是有變軟的反應；就是其特徵之一。
此外，還會發生所謂的「應力緩和」現象。所謂的應力緩和，就是維持一定的應變量下，物體內部產生的應力會隨著時間而變小的一種現象。為了表現出這種材料的行為，就需要使用黏彈性材料專用的方程式。
圖８ 應力緩和
這樣應力緩和的行為，可以用以下的方程式來表示：
方程式４
為了描述這種材料的行為，往往會使用彈簧與阻尼的串聯或並聯組合起來的模型；在模擬軟體中，往往會使用好幾個串聯起來的馬克斯威爾（Maxwell）模型再並聯成好幾個，然後為了表現出長期剛性特徵，還會另外再並聯幾個彈簧，構成所謂的「一般化馬克斯威爾模型」，才能近似出這種材料的特徵。
圖９ 一般化馬克斯威爾模型
而上圖這個一般化馬克斯威爾模型的剛性，可以用以下的方程式５來表示：
方程式５
這種材料物性，一般會利用材料的應力緩和試驗或動態試驗得到的結果進行曲線近似，而給出需要的數學模型。
總結
世界上除了線性彈性材料以外，全部都是非線性材料。與線性彈性材料相比，非線性材料的材料數學模型要複雜很多，而且要知道材料數學模型之後的理論背景也非常重要。此外，這些模型往往不能如同線性彈性材料一樣使用楊氏係數或蒲松比，而必須根據實驗結果來導出。
在金屬的塑性加工等模擬、使用到橡膠或凝膠這種高分子材料的應力模擬當中，都必須使用本文介紹的材料模型才行，雖然這些模型會讓整個模擬模型變得更加複雜。尤其橡膠材料是在一般產品模擬分析中經常會用到的材料，請大家在模擬當中務必試試看如何處理這種非線性材料模型的方法。
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