在開始使用ＣＡＥ前必須確實學好的有限元素法（７）
三人中就會有兩人算錯？！一起來算算懸臂樑問題吧！
這一篇是要實際實踐至今為止所說明過的內容，挑戰三人中會有兩人算錯的懸臂樑變形量計算問題。
前一篇已經說明過「網格尺寸會大大左右分析模擬的精度」。最近的設計者用ＣＡＥ軟體的網格尺寸卻是隨便決定、讓設計者看不到網格的「臉」的情況非常之多。正是因為如此，請各位讀者有必要在模擬之前意識到網格尺寸的重要性。
另外一件更重要的事情，則是「絕對不可以只做一次模擬就交差」。就像做實驗也是要反覆做個好幾次、取其平均值一樣。分析模擬也是一樣。必須要改變網格尺寸多跑個幾次才行。
由於前面的內容完全都在解說，所以這篇要實際使用有限元素法軟體，來實踐看看前面解說過的內容是否正確。當然，各位讀者也可以拿自己使用的ＣＡＥ軟體出來做同樣的實驗。
試著手算懸臂樑的變形量看看
首先來決定一下要分析模擬的模型吧。這裡選擇的是經常會使用到的「懸臂樑」作為解題的模型。其尺寸如圖１所示：
圖１ 懸臂樑與其尺寸
在本文中已經強調過好多次「想像非常重要」的觀念。這裡也請大家試著想像看看。像這樣的鐵塊，顯然相當沉重，而且應該很冰冷．．．。而且確實被固定在堅固的牆壁上。而這個固定方式可不是普通強壯，而是已經到了不管用甚麼方式都不可能將這個鐵柱拔出來的程度。像以上這些想像，對後面的分析模擬並沒有甚麼直接幫助，但卻是可以用來培養工程能力的第一步。
這裡也要稍微說明一下「軟鋼」這個材料。其實軟鋼就是一般所謂的「鐵」。而普通的鐵，就是讀者們想像的那個鐵沒錯，通常使用在建築物與橋梁中。「軟鋼」當中有個「軟」字，就給人有個柔軟的印象。但在學校中的知識中，「鐵」就是「純鐵」（不含雜質的鐵）。但其實純鐵太軟，是無法作為工業材料拿來結構上使用的。在純鐵中只要加入少量的碳等元素就能大幅度提升強度。這樣加入碳的「鐵」就被稱作為「鋼」。在碳的含量為０．１３～０．２％時，其拉伸強度就到達３８～４４ｋｇｆ／ｍｍ２。（其含碳量較少，不是最強的鋼材，所以叫做「軟」鋼，其實當然還是有相當強度的）
像懸臂樑這樣的構造，是有理論解的，因此可以光靠手算就求出受到外力的解答。這在一般的材料力學的教科書中一定會寫出懸臂樑的公式。（如圖２）
圖２ 計算懸臂樑變形量的公式
是不是有種看到數學公式就很煩的感覺？而且這裡面有１（一）、ｌ（長度）、Ｉ（面積慣性矩）等三個看起來很像的符號，請特別小心注意。如果改用中文來表示，會像以下這個樣子，直覺上會比較親切吧。
在這個懸臂樑的前端施加上了１００Ｎ（牛頓）的外力。１００Ｎ約相當１０公斤重（ｋｇｆ）的力量，所以請務必想像看看這個力量大小是多大。大家應該有去過超市買米吧？這就相當約兩包５公斤米的分量，其實相當重喔。
然後，這裡冒出了一個前面完全沒有出現過的名詞，「面積慣性矩」。這個面積慣性矩，如上面那個可怕的數學式寫的一樣，是用「Ｉ（我愛你的那個Ｉ，笑）」來表示，照英文直翻「面積二次軸矩（second axial moment of area）」也可以。講得極端單純的話，就是「衡量樑容不容易折彎的一種數字」。在一般的機械設計手冊或是網路上都能輕鬆查到主要截面形狀的面積慣性矩。
這次的樑截面是長方形，因此可以根據以下的公式求出長方形的面積慣性矩。
長方形面積慣性矩＝（截面寬×截面高３）／１２
「截面寬」與「截面高」會根據樑怎麼擺放而有變化。當然，樑也可能會是擺成歪的，這裡為了說明方便的關係，先只考慮截面旋轉九十度的狀況，來分別計算樑直擺和橫擺時各自的面積慣性矩。
圖３ 橫擺與直擺的狀況下，面積慣性矩之比較
從這個表可以看得出直擺的面積慣性矩要比橫擺時要大。這可以從直擺的時候比較難被折彎的經驗中理解吧。在公式表中無法查到的截面形狀，在筆者還是菜鳥的時候，都是先把截面分割成小長方形後再手算。最近有各式各樣面積慣性矩的計算工具，所以需要求出任意形狀的面積慣性矩時，就請大家自己查查看這些工具就好了。
而這些面積慣性矩的公式由來，在前面介紹過的ＪＩＫＯ先生的網站（ＣＡＥ技術者的資訊網站）已經寫得非常清楚，也把長方形截面的面積慣性矩的計算當作例題來介紹。
既然現在已經介紹過面積慣性矩的意義之後，那麼我們就趕快來計算看看這個懸臂樑的變形量吧。
以下雖然把答案列了出來，還是請務必自己把數字帶入手算求出變形量。筆者曾經把這個同樣的例題帶去教室給學生算，正確率竟然只有３０％！換句話說，大約三個人中只有一個人算得對。其原因幾乎都出現在單位換算搞錯上。所以建議大家還是要自己挑戰一下，看看自己是屬於可喜可賀的３０％？還是令人遺憾的７０％。
圖４ 懸臂樑變形量的解答
不知道大家是不是都算對了？請務必反覆挑戰到算對為止喔。
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