為何出現大變形大旋轉的模擬問題必須要考慮形狀非線性呢？
那麼為何出現大變形或大旋轉的模擬問題，會有不考慮形狀非線性就出現超脫現實的奇怪結果呢？其實要嚴密說明這個現象，需要非常仔細解釋連續體力學才講得下去，然後大家就會看到滿滿的偏微分方程式並列的狀態，簡直就像是在大學中講課的樣子。以下的說明則只是其中的概要，講解執行非線性模擬時需要的最低限度知識。
也許有人對這樣的做法會有異議，不過只要不是去驗證符合物理理論意義上的困難現象模擬，以商用模擬軟體來跑非線性問題，其實並不需要完全理解詳細的學理內容，只要具備大綱水準的必要知識，就可以先去實作了。說得更誇張一點，使用商用模擬軟體時，只要明白遇到大變形、大旋轉問題的時候，要把「非線性」的選項打開就很夠了。
當然，即便如此，還是必須要知道一些一般線性模擬時並不會討論的知識，以下還是會稍微說明一下相關的話題。而這些話題的重要關鍵字就是「應變」與「應力」。
「應變」與「應力」
應變是與平移／旋轉單位無關的變形衡量標準。在應變的分類中，如後所說明的一樣，有「微小應變」與「對數應變（真應變）」等等不同種類的應變。
在線性模擬中使用的應變，就是微小應變；將這種微小應變套用在大旋轉問題上時，就會出現膨脹的不合理狀況。因此還有避免引起這種問題的應變定義，例如「格林．拉格朗日應變（Green-Lagrangian strain）」或「阿爾曼濟應變（Almansi strain）」。
在第二篇中提過有限元素法是以連續體力學中的「柯西第一運動定理」來求解的；但使用柯西的應力張量來推導運動方程式時，會出現對於非線性問題過於強硬而很難處理的問題。順帶一提，如果將現配置（Current Configuration）的微分代換成變形前配置的微分，就會導出所謂的「第一皮歐拉－柯希荷夫（Piola-Kirchoff）應力」。但是這種應力因為是不對稱而很難處理，一般會使用對稱化的「第二皮歐拉－柯希荷夫應力」。
說到這裡，我們就用是否考慮旋轉的觀點來重新思考一次「何謂線性模擬」這個問題吧。然後用以下的正方形一面旋轉、一面受負載拉伸的狀況來思考線性與非線性的差別。
圖１０ 線性模擬與柯西第一運動定律
而在之前也提過的柯西第一運動定律的方程式如下（方程式１）
方程式１
本來ｘｊ就含有位移ｕ了，換句話說這個方程式的分子和分母都有位移ｕ出現，所以就變成了非線性方程式。這裡假設位移ｕ很小，而將ｘｊ置換成Ｘｊ。此外當應變很小時，可以視為以下這個式子（方程式２）所寫的微小應變。
方程式２
在方程式２中由於位移ｕ並未出現在分母中，求解會容易很多。簡單來說，就是可以使用線性模擬來計算這個問題。
全拉格朗日法（Total Lagrangian Approach）與更新拉格朗日法（Updated Lagrangian Approach）
應力與應變種類
在計算非線性的問題時，使用不同的應變必須配合不同的方法來求解。以柯西應力（Cauchy Stress，真應力）來計算前述的柯西第一運動定律方程式的方法，稱為更新拉格朗日法；而使用「第二皮歐拉－柯希荷夫應力」來解柯西第一運動定律方程式的方法，稱為全拉格朗日法。使用哪種方法來計算非線性問題，就決定了會是使用哪一種應力與應變測度。
在全拉格朗日法中，應變是「格林．拉格朗日應變（Green-Lagrangian strain）」、應力是使用「第二皮歐拉－柯希荷夫應力」；另一方面如果使用的是更新拉格朗法的話，應變就是用對數應變（真應變）、應力則是柯西應力（真應力）。
從使用模擬軟體的觀點來看，重要的是自己是在使用甚麼應力或應變。也是這樣，本文要說明在進行非線性模擬時會用到甚麼應力與應變。
應力的分類
柯西應力（真應力）
這種應力，是以現在的截面積與現在的變形狀態為基準來計算的應力。在評價變形狀態的時候，當然需要成為基準的狀態，而柯西應力則是將正好結束於現在的增分階段之前的增分狀態做為基準，當作是現在的狀態來計算應力。這樣的柯西應力也被稱為真應力。如果是單純的一軸問題，則把施加的負載除以現在的截面積，就是這種應力。如前所述，這是更新拉格朗日法中使用的應力。
方程式３ 柯西應力
第二皮歐拉－柯希荷夫應力
說實話，前述的柯西應力還是比較好想像理解的應力，而這個第二皮歐拉－柯希荷夫應力，是就算看了以下的方程式４也很難靠直覺去理解的東西。它雖然是實際上展開理論推導必要的應力，但物理意義卻很淡薄。總之，它就是全拉格朗日法中使用的應力。
方程式４
順便給大家參考一下，一般在材料力學中使用的應力稱為「公稱應力」。這是使用在微小變形、微小應變問題上的應力，換言之就是線性問題中使用的應力。如果是單軸的問題，就是負載除以最初的截面積。定義如方程式５所示：
應變的分類
對數應變（真應變）
這種應變，是使用現在的長度作為計算應變的基準，和前述的柯西應力一樣，是在更新拉格朗日法中使用的應變。其定義如方程式６所示：
方程式６
格林．拉格朗日應變
而這個應變則是以初期長度做為計算基準，而成為有考慮旋轉效應的應變。在單軸的問題下，其定義會如同方程式７所示，但和第二皮歐拉－柯希荷夫應力一樣，是直覺上比較難理解的東西。
方程式７
順便也給大家看一下所謂的「公稱應變（工程應變）」做為參考。這和公稱應力一樣，是材料力學課本中所使用的應變，可以說是我們最熟悉親切的一種應變。如果是單軸問題的話，公稱應變的定義如方程式８所示：
方程式８
為何要認識這些應力與應變？
至此為止，介紹了各種應力與應變的定義。然而，可能會有人要問，為什麼要知道這些的應力或應變啊？當然，如果是「要自己寫出非線性模擬程式」的話，那非學習這些不可；然而只是要使用一般商用模擬軟體的話，為何還必須要學這些呢？
歸根究柢，就是這些模擬程式會因為使用的公式不同，得到不同的模擬解果；換句話說，算出來的應力或應變就會不一樣。當然，需要輸入的資訊也會跟著改變。如果搞錯的話，就會可能陷入不知道錯在何處的窘境。
好比說，要去跑彈塑性模擬的時候，除了要輸入通常彈性模擬中會用到的楊氏係數（直向彈性係數）與蒲松比以外，還必須輸入塑性區域的應力與應變的關係。這些資料的輸入方法可能會因為使用的模擬軟體不同而有差異，但是大多是使用從降伏應力開始乘上加工斜度而得到的雙線性（Bi-linear）應力應變模型、或者是將每一個應變與對應的應力資料點描繪出來、再用直線相連而定義出塑性區域的ＳＳ曲線模型。
這些資料，通常要從材料拉伸試驗中獲得，一般會將這些實驗資料整理出來的應力與應變稱為公稱應力與公稱應變（工程應變）。然而，當要跑的模擬軟體是使用柯西應力與對數應變時，必須要定義相關的資料點的話，該怎麼辦？如果是使用更新拉格朗日法來模擬計算，程式內部一定是使用柯西應力與對數應變，要輸入的應力與應變關係就必須是柯西應力與對數應變才自然。（要輸入這些資料的時候，請務必參考所使用的模擬程式手冊，確認它是使用哪種方法來計算、又是使用甚麼定義的應力與應變）。
因此，遇到這種場合、要定義材料物性時，就必須花工夫將實驗資料中的公稱應力與公稱應變轉換成要使用的柯西應力與對數應變。
此外，要評價模擬結果時也必須小心這個問題。好比說，筆者通常使用的模擬軟體是使用更新拉格朗日法來計算，則得到的模擬結果，就會是以柯西應力與對數應變來表示。這個時候，假設想將這樣的模擬結果拿去和實驗做比較，就等於是拿結果去跟公稱應力與公稱應變做比較。但其實這是兩種不同的應力應變系統，當然無法直接比較，而是得要將模擬結果轉換成公稱應力與公稱應變才能相比，請務必小心。
原本如果要模擬計算的東西，是在線性範圍內就能搞定的現象，那麼或許不需要知道上述那麼多的東西；但在非線性的範圍下，就必須仔細小心這些問題。
總結
最後來個總整理。首先要強調一下，避免大家誤解：這不是在說非線性模擬好棒棒、線性模擬很爛。因為如果是這樣的話，世界上就完全看不到有人跑線性模擬了。重點在於線性模擬與非線性模擬是分別用在不同的場合。的確，世界上的各種現象嚴格來看通通都是非線性。但是以零件設計中的強度計算為例，常常都是出現在不是很大的地方、或是眼鏡看不出來的微小變形程度；這樣的話，使用線性模擬就是非常現實而精度很高的模擬。
遇到這樣的場合，當然你也可以用非線性的方式去跑模擬，但只要加入增分計算或收斂計算的迴圈，計算模擬的成本就會大幅提高；相反地如果去比較模擬結果的話，也會發現非線性和線性的解相差不到不能接受的程度。換句話說，此刻使用非線性的方式來求解，其ＣＰ值會非常低。只不過，還是要請大家記得，當出現大變形或是大旋轉的狀況時，不考慮幾何非線性的模擬，就會很難得到現實的解答。
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