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2023年11月2日 星期四

非線性結構模擬入門(01) 總論

譯自Monoist


不能不知道的非線性結構模擬入門


文:水野操


(1)甚麼叫非線性模擬?


現在越來越多的3D CAD軟體都把CAE功能加入選配的功能之一,但是大部分的人使用的都是其中的「線性模擬」功能,現狀是都還沒踏入「非線性模擬」的領域之中。這個連載就想聚焦在結構模擬中的非線性模擬部分上,介紹出讓初學CAE者也能簡單理解其中的特性與活用的好處。


前言


大家好,我是mfabrica公司的水野操,平常就是協助各式各樣的客戶設計、或接受委託模擬分析的業務。此外,我也出版了關於3D CAD、CAE或是3D列印的相關書籍,也在網站上寫過不少關於連載形式的解說文章。


這次在這個新開始的連載「不能不知道的非線性結構模擬入門」中,希望集中於介紹結構模擬中特別重要的「非線性模擬」的部分上。


一般來說,討論結構分析的文章或書籍大多以限定在「線性模擬」的範圍內為主流。實際上,筆者自己過去執筆的文章或是書籍,也幾乎都是線性模擬相關的內容;去參加講習會之類的場合時,聽到的內容也幾乎都線性範圍的東西。


不過,觀察現行3D CAD軟體提供的選配CAE軟體(或CAE功能模組)的話,會發現並不侷限於只有線性彈性範圍而已,經常也都能執行非線性模擬的問題。不過,也不是這樣就能說大家都在應用非線性模擬的功能,而是幾乎都還停留在利用線性彈性模擬的階段。此外,這樣的情況並不是只有日本這樣,聽說即便是美國也是如此。


但是如果說到筆者自己的話,其實在做的模擬幾乎全部都是非線性模擬。本來會來委託分析模擬的案件,其問題本身就很難,往往不仔細考慮使用非線性模擬的方式來做,幾乎都得不到好的結果。從這樣的理由來看,就會明白筆者做非線性模擬的比率會這麼高。


不知道各位讀者是怎麼樣?如果是機械產品等等的強度設計,可能會有大半人覺得「線性彈性範圍的模擬就已足夠」,即便如此,通常的線性彈性模擬常常會發生「不管怎樣就是算不出能夠滿意的解」。此外,在加工程序中的模擬上,如果不考慮非線性的部分,通常也得不到現實可行的解。


話雖如此,為什麼非線性模擬常常會在模擬專任者的領域上會停滯不前呢?其理由或許可以用「從各種意義上來看非線性問題很困難」一句話就能道盡了。就以筆者自身來說,從第一次接觸到商用非線性模擬軟體到現在也已經超過三十年了(真正一開始是在研究所時代為了寫論文,而自己寫程式來跑非線性模擬),到現在每天還是會覺得「這種問題是無法一招行遍天下般的困難」。


就算好不容易找到了合理的解了,接下來光要調整各種模擬參數,一天就過去了....的狀況也是屢見不鮮。而這方面的書籍也都是極端性的高專門性、學院派理論型的內容多得不得了,現狀上就是讓人敬而遠之。


這次就是多少希望讓讀者們對非線性模擬能夠覺得有親切感(?),所以下定決來寫這一系列的連載。不過,光靠本連載的內容就要一網打盡相關的必要資訊是很困難的,因此對這個領域很熟悉的朋友或許會覺得內容上有些不夠深入,但只要能讓多一位讀者對非線性模擬感興趣、能活用到自身的工作上、甚至可能成為進一步深造的契機,都是再好不過之事。因此,在連載結束之前,請大家抱持耐心看下去。


「非線性模擬」中的甚麼是非線性?


說是「非線性模擬」,到底甚麼部分是「非線性」?此外,到底是因為甚麼要因,才會讓模擬分析不是走線性而是非要走非線性的範圍不可?


在本連載中,就會從這個部分開始談起。另外,也會把走向非線性的要因一一說明出來。相關的內容,會盡力不要搞得太學院理論化,但是視情況,數學推導公式還是怎樣都避免不了而冒出來,尚請見諒。


接下來就要回到開頭的疑問:非線性模擬之中到底是甚麼非線性?說的極端簡單的話,就是在某個物體上施加的負載/應力和應變/變形的關係是成「正比關係」的,就是「線性問題」;相對地,不成「正比關係」的就是「非線性問題」。


除此之外,非線性問題還有其他的特徵。好比說,線性模擬的計算結果,通常會和材料力學的理論公式算出的結果一致。但非線性模擬的問題,就無法和材料力學的理論算式得到一致的結果(因為理論算式通常就是以線性的狀態下去推導)。


哎...嚴格說起來這是算不上甚麼的粗暴說明,不過請大家安心,後續會有更進一步詳細的說明。


圖1 線性模擬



*{f}:負載向量矩陣、{u}:變形/應變向量矩陣、[K]:材料剛性矩陣


圖2 非線性模擬



*[Kt(u)]:非線性材料剛性矩陣


那麼,到底是甚麼會造就出非線性的特徵呢?主要是:


1.幾何上的非線性(形狀非線性)

2.材料非線性

3.邊界條件非線性


這三種,接下來會依照順序說明。


造成非線性的三種原因


1.幾何上的非線性


所謂的「幾何上的非線性」,通常也稱為「形狀非線性」,這種非線性卻是三種非線性當中「直觀上最難理解的非線性」。


從運動方程式的觀點來看,這也可以看成是變形和應變的關係是非線性的關係。這種非線性將會在後面再詳細說明一次,這裡先簡單說明一下的話,就是物體的形狀有很大的歪斜、或者是會旋轉,造成了非線性。從另外一個角度來看,如果不談到非線性的話,就無法處理好大變形的問題


圖3 橫向拉伸




拉伸的越長,材料就越往拉伸的方向剛性下降。


2.材料非線性


「材料非線性」是指材料物性中出現的非線性特徵,這是一種比較容易想像的非線性。


通常用在線性模擬上的材料物性數值,就是「楊氏係數(縱向彈性係數)」與「蒲松比」。而應力與應變是和楊氏係數相關的比例關係。通常可以使用線性模擬的問題,就在符合這種關係的領域之中。


然而,當金屬被施加超過降伏應力以上的負載時,材料就會出現塑性(永久變形)。然後應力與應變的關係就不再是成正比關係。換句話說,就產生了材料物性的非線性現象。此外,就算橡膠這種可以產生非常大變形量、而且可以回到原本形狀的彈性特性物質,其變形過程中應力與應變也不是直線關係、而是可以畫成類似S型的非線性圖形。換言之,其應力與應變的關係也是非線性。


其他還有當維持一定應變時應力會變小的「應力緩和」現象、或維持一定應力下應變會越來越大的「潛變」現象等等,材料會顯示出一些複雜的行為。這樣的材料物性與行為也都是造成非線性的原因。


圖4 材料非線性的例子:彈塑性材料的應力應變關係曲線



3.邊界條件非線性


第三個造成非線性的原因就是「邊界條件非線性」。在這種非線性當中,最常為人所熟知的就是「接觸」現象。簡單來說,根據邊界條件(動作的限制條件、負載條件...)的狀態,加在物體上的負載與對應的位移關係就會變成非線性了。


在線性模擬中,設定成為模擬條件的限制條件與負載條件都是不變的(就算有接觸條件也一樣),但是當物體變形太大,物體之間的接觸條件就會發生變化;或者當物體變形太大,加諸於其上的壓力方向可能就會產生改變,而讓壓力與變形的關係不會維持比例關係。這也是一種因為物體行為造成的非線性。


圖5 當接觸面積有巨大變化時,邊界條件也更著增大



非線性問題該怎麼求解?


線性的問題從數學式來看,大致會變成去解以下的式子:


y=ax


換句話說y和x是成比例的關係式。這看起來就像是國中一年級的數學問題,可以利用除法「x=y/a」而簡單算出x的值。也就說,線性的問題可以用數學四則運算得到答案。


那麼非線性的問題又會如何?我們就以下這個數學式來思考看看。


y=ax2


這個問題,X值可以用X=+/-(y/a)^0.5(開根號)的方式求解。但這個問題並不像線性問題一樣可以用單純的四則運算求出答案。因此像這樣的非線性問題的解,往往會使用從現在點(已知值)出發,稍微增量而逐漸求解的疊代解法來求解。這種被稱為「增分解法」的方法,在非線性模擬中,會使用所謂的「牛頓-拉福森(Newton-Raphson)法」的增分解法來進行模擬求解。


非線性模擬的困難之處


那麼,與線性模擬相比,非線性模擬的困難之處是甚麼?這個問題光要說,就能想出大堆東西可以講,但只用一句話來總結的話,就是「不一定找得到解答」。在英文中有所謂的「Garbage In, Garbage Out(垃圾進、垃圾出)」的俗語,就是線性模擬的真實評語。模擬程式往往是根據輸入的條件來計算,如果輸入不適當的條件,得出來就會是不適當的解。


然而,在非線性模擬上,更悲慘的是,甚至可能連「Garbage Out」都不會發生。換句話說,最後有可能連答案都算不出來!好比說計算中出現不穩定的現象,或是增分的過程中根本就無法收斂,而走不到最後的答案....像這樣的結果是經常出現。


也是這樣,為了要找出最終解,往往必須調整軟體的各種參數,才有機會得到答案;就算有了答案,還必須驗證這樣的答案是否有合理性。此外,就算能夠順暢的跑完模擬,在同樣規模的模型下,非線性的問題就是要比線性的問題多花更龐大的時間、也會產生更龐大的結果。


解單來說,就是「非線性問題超級麻煩」。不過,相反地,它就有辦法模擬出線性模擬無法解決的困難現象。可以說是很有趣、刺激的世界。這一點請大家務必記在心中。


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