譯自Monoist
不能不知道的非線性結構模擬入門
文：水野操
（１）甚麼叫非線性模擬？！
現在越來越多的３Ｄ ＣＡＤ軟體都把ＣＡＥ功能加入選配的功能之一，但是大部分的人使用的都是其中的「線性模擬」功能，現狀是都還沒踏入「非線性模擬」的領域之中。這個連載就想聚焦在結構模擬中的非線性模擬部分上，介紹出讓初學ＣＡＥ者也能簡單理解其中的特性與活用的好處。
前言
大家好，我是mfabrica公司的水野操，平常就是協助各式各樣的客戶設計、或接受委託模擬分析的業務。此外，我也出版了關於３Ｄ ＣＡＤ、ＣＡＥ或是３Ｄ列印的相關書籍，也在網站上寫過不少關於連載形式的解說文章。
這次在這個新開始的連載「不能不知道的非線性結構模擬入門」中，希望集中於介紹結構模擬中特別重要的「非線性模擬」的部分上。
一般來說，討論結構分析的文章或書籍大多以限定在「線性模擬」的範圍內為主流。實際上，筆者自己過去執筆的文章或是書籍，也幾乎都是線性模擬相關的內容；去參加講習會之類的場合時，聽到的內容也幾乎都線性範圍的東西。
不過，觀察現行３Ｄ ＣＡＤ軟體提供的選配ＣＡＥ軟體（或ＣＡＥ功能模組）的話，會發現並不侷限於只有線性彈性範圍而已，經常也都能執行非線性模擬的問題。不過，也不是這樣就能說大家都在應用非線性模擬的功能，而是幾乎都還停留在利用線性彈性模擬的階段。此外，這樣的情況並不是只有日本這樣，聽說即便是美國也是如此。
但是如果說到筆者自己的話，其實在做的模擬幾乎全部都是非線性模擬。本來會來委託分析模擬的案件，其問題本身就很難，往往不仔細考慮使用非線性模擬的方式來做，幾乎都得不到好的結果。從這樣的理由來看，就會明白筆者做非線性模擬的比率會這麼高。
不知道各位讀者是怎麼樣？如果是機械產品等等的強度設計，可能會有大半人覺得「線性彈性範圍的模擬就已足夠」，即便如此，通常的線性彈性模擬常常會發生「不管怎樣就是算不出能夠滿意的解」。此外，在加工程序中的模擬上，如果不考慮非線性的部分，通常也得不到現實可行的解。
話雖如此，為什麼非線性模擬常常會在模擬專任者的領域上會停滯不前呢？其理由或許可以用「從各種意義上來看非線性問題很困難」一句話就能道盡了。就以筆者自身來說，從第一次接觸到商用非線性模擬軟體到現在也已經超過三十年了（真正一開始是在研究所時代為了寫論文，而自己寫程式來跑非線性模擬），到現在每天還是會覺得「這種問題是無法一招行遍天下般的困難」。
就算好不容易找到了合理的解了，接下來光要調整各種模擬參數，一天就過去了．．．．的狀況也是屢見不鮮。而這方面的書籍也都是極端性的高專門性、學院派理論型的內容多得不得了，現狀上就是讓人敬而遠之。
這次就是多少希望讓讀者們對非線性模擬能夠覺得有親切感（？），所以下定決來寫這一系列的連載。不過，光靠本連載的內容就要一網打盡相關的必要資訊是很困難的，因此對這個領域很熟悉的朋友或許會覺得內容上有些不夠深入，但只要能讓多一位讀者對非線性模擬感興趣、能活用到自身的工作上、甚至可能成為進一步深造的契機，都是再好不過之事。因此，在連載結束之前，請大家抱持耐心看下去。
「非線性模擬」中的甚麼是非線性？
說是「非線性模擬」，到底甚麼部分是「非線性」？此外，到底是因為甚麼要因，才會讓模擬分析不是走線性而是非要走非線性的範圍不可？
在本連載中，就會從這個部分開始談起。另外，也會把走向非線性的要因一一說明出來。相關的內容，會盡力不要搞得太學院理論化，但是視情況，數學推導公式還是怎樣都避免不了而冒出來，尚請見諒。
接下來就要回到開頭的疑問：非線性模擬之中到底是甚麼非線性？說的極端簡單的話，就是在某個物體上施加的負載／應力和應變／變形的關係是成「正比關係」的，就是「線性問題」；相對地，不成「正比關係」的就是「非線性問題」。
除此之外，非線性問題還有其他的特徵。好比說，線性模擬的計算結果，通常會和材料力學的理論公式算出的結果一致。但非線性模擬的問題，就無法和材料力學的理論算式得到一致的結果（因為理論算式通常就是以線性的狀態下去推導）。
哎．．．嚴格說起來這是算不上甚麼的粗暴說明，不過請大家安心，後續會有更進一步詳細的說明。
圖１ 線性模擬
＊｛ｆ｝：負載向量矩陣、｛ｕ｝：變形／應變向量矩陣、［Ｋ］：材料剛性矩陣
圖２ 非線性模擬
＊［Kt（ｕ）］：非線性材料剛性矩陣
那麼，到底是甚麼會造就出非線性的特徵呢？主要是：
１．幾何上的非線性（形狀非線性）
２．材料非線性
３．邊界條件非線性
這三種，接下來會依照順序說明。
造成非線性的三種原因
１．幾何上的非線性
所謂的「幾何上的非線性」，通常也稱為「形狀非線性」，這種非線性卻是三種非線性當中「直觀上最難理解的非線性」。
從運動方程式的觀點來看，這也可以看成是變形和應變的關係是非線性的關係。這種非線性將會在後面再詳細說明一次，這裡先簡單說明一下的話，就是物體的形狀有很大的歪斜、或者是會旋轉，造成了非線性。從另外一個角度來看，如果不談到非線性的話，就無法處理好大變形的問題。
圖３ 橫向拉伸
拉伸的越長，材料就越往拉伸的方向剛性下降。
２．材料非線性
「材料非線性」是指材料物性中出現的非線性特徵，這是一種比較容易想像的非線性。
通常用在線性模擬上的材料物性數值，就是「楊氏係數（縱向彈性係數）」與「蒲松比」。而應力與應變是和楊氏係數相關的比例關係。通常可以使用線性模擬的問題，就在符合這種關係的領域之中。
然而，當金屬被施加超過降伏應力以上的負載時，材料就會出現塑性（永久變形）。然後應力與應變的關係就不再是成正比關係。換句話說，就產生了材料物性的非線性現象。此外，就算橡膠這種可以產生非常大變形量、而且可以回到原本形狀的彈性特性物質，其變形過程中應力與應變也不是直線關係、而是可以畫成類似Ｓ型的非線性圖形。換言之，其應力與應變的關係也是非線性。
其他還有當維持一定應變時應力會變小的「應力緩和」現象、或維持一定應力下應變會越來越大的「潛變」現象等等，材料會顯示出一些複雜的行為。這樣的材料物性與行為也都是造成非線性的原因。
圖４ 材料非線性的例子：彈塑性材料的應力應變關係曲線
３．邊界條件非線性
第三個造成非線性的原因就是「邊界條件非線性」。在這種非線性當中，最常為人所熟知的就是「接觸」現象。簡單來說，根據邊界條件（動作的限制條件、負載條件．．．）的狀態，加在物體上的負載與對應的位移關係就會變成非線性了。
在線性模擬中，設定成為模擬條件的限制條件與負載條件都是不變的（就算有接觸條件也一樣），但是當物體變形太大，物體之間的接觸條件就會發生變化；或者當物體變形太大，加諸於其上的壓力方向可能就會產生改變，而讓壓力與變形的關係不會維持比例關係。這也是一種因為物體行為造成的非線性。
圖５ 當接觸面積有巨大變化時，邊界條件也更著增大
非線性問題該怎麼求解？
線性的問題從數學式來看，大致會變成去解以下的式子：
y＝ax
換句話說y和x是成比例的關係式。這看起來就像是國中一年級的數學問題，可以利用除法「x=y/a」而簡單算出x的值。也就說，線性的問題可以用數學四則運算得到答案。
那麼非線性的問題又會如何？我們就以下這個數學式來思考看看。
y＝ax2
這個問題，X值可以用X=+/-(y/a)^0.5（開根號）的方式求解。但這個問題並不像線性問題一樣可以用單純的四則運算求出答案。因此像這樣的非線性問題的解，往往會使用從現在點（已知值）出發，稍微增量而逐漸求解的疊代解法來求解。這種被稱為「增分解法」的方法，在非線性模擬中，會使用所謂的「牛頓－拉福森（Newton-Raphson）法」的增分解法來進行模擬求解。
非線性模擬的困難之處
那麼，與線性模擬相比，非線性模擬的困難之處是甚麼？這個問題光要說，就能想出大堆東西可以講，但只用一句話來總結的話，就是「不一定找得到解答」。在英文中有所謂的「Garbage In, Garbage Out（垃圾進、垃圾出）」的俗語，就是線性模擬的真實評語。模擬程式往往是根據輸入的條件來計算，如果輸入不適當的條件，得出來就會是不適當的解。
然而，在非線性模擬上，更悲慘的是，甚至可能連「Garbage Out」都不會發生。換句話說，最後有可能連答案都算不出來！好比說計算中出現不穩定的現象，或是增分的過程中根本就無法收斂，而走不到最後的答案．．．．像這樣的結果是經常出現。
也是這樣，為了要找出最終解，往往必須調整軟體的各種參數，才有機會得到答案；就算有了答案，還必須驗證這樣的答案是否有合理性。此外，就算能夠順暢的跑完模擬，在同樣規模的模型下，非線性的問題就是要比線性的問題多花更龐大的時間、也會產生更龐大的結果。
解單來說，就是「非線性問題超級麻煩」。不過，相反地，它就有辦法模擬出線性模擬無法解決的困難現象。可以說是很有趣、刺激的世界。這一點請大家務必記在心中。
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