在開始使用ＣＡＥ前必須確實學好的有限元素法（１２）
有限元素法知識總整理～你是在設計之後才開始做分析模擬嗎？
在設計結束之後才開始做分析模擬的人真的沒問題嗎？盡量防止回頭重做設計問題出現的分析模擬時機為何？
在前一篇中筆者最想說的東西，在這裡請讓我重複一次：
「加在結構上的負載」以及「限制結構不能動的拘束」，結果都是在決定節點的自由度。
通常在給設計者使用的分析模擬軟體中，不論是帶有固定結構意義的拘束條件、或是表示施加於構造上力量的負載條件，都是用很漂亮的圖形指令來表示。這些指令都是用設計者容易理解的語言，然後在各個條件上加入名字而已。
而大家選擇的「容易理解語言」則會被用來將指定的拘束條件或負載條件轉換到所有節點的自由度之上。如果大家有親身操作之前介紹過的免費軟體模擬範例的話，就應該會實際體會到這種過程。
迄今為止，我看過了許許多多客戶所建立的分析模擬模型，往往會看到一定比例出現「明明把結構的部分作的維妙維肖、非常仔細，但拘束條件或負載條件卻是亂設一通」的現象。其實，只有構造（幾何）上做得非常仔細，負載或拘束的模型卻相當粗糙，分析模擬的結果還是會往比較粗糙的方向上偏離。
這種偏差，如果用乘法的有效位數為例來思考的話，會更容易明白。好比說，１．２３４５６乘上２．３的答案雖然是２．８３９４８８，但實際去看有效數字的話，只有小數點後一位的數字是有效精度而已。換句話說，可以說答案只能有效到２．８而已。因為乘數的精度是２．３而不是２．３００００。
因此要作出一個均衡的好分析模擬，結構、負載與拘束的模型精度都必須要兼顧配合好才行。
也是這樣，這一篇會來說明拘束條件與負載條件的要點。
以０與１的數位化來表示固定狀況
在前文中，已經說明過結構分析模擬是一種三位一體的關係。也就是說結構模擬，必須要具備結構、負載與拘束這三種東西才能成立。雖然稍微有點勉強，但將虎克定律的各個項目放在一起來看的話，就會像是圖１那樣的狀況：
圖１ 要具備結構、負載與拘束三項東西才會有應力發生
「結構」在有限元素法中就會直接變成了「剛性矩陣」。這個部分應該很容易理解吧。至於「負載」也很容易和「力量」的概念重合在一起。而「拘束」就是「不可以動」，等於是說變形量為零。其實原本也相當於方程式中要求解的「位移」。
這三者都要具備，才會有應力產生。所以不管你用多漂亮的指令按鈕來設定拘束條件、用多麼容易讓設計者了解的語言來施加負載，最後全部都會轉化到矩陣運算之中。
接下來就來說明現實中結構的設置狀況該如何轉換為拘束條件。
在有限元素法中，可以藉由調整節點的六個自由度，來表現出各式各樣的拘束條件。而單純就是把自由度變換為「固定」或是「自由」而已，而能表現出所有的結構設置狀況或固定狀況，甚或是元件與系統之間的連結關係。不過，這卻是相當困難深奧的設定。在給設計者使用的ＣＡＥ軟體中，通常會使用「完全固定」或是「銷接（Pin）」等等設計者熟悉的名詞來表示拘束條件，但是結果都是在表示「固定」與「自由」，換句話說，就是「０」與「１」而已。
大家使用給設計者使用的ＣＡＥ軟體時，其拘束條件是使用設計者熟悉的語言來設定的話，最好是先去調查研究清楚這些拘束條件設定指令到底是把哪些自由度設定為固定或是自由，再來正式使用會比較好。
圖２ 節點的自由度設定為固定或自由可以決定拘束條件
接下來，筆者就試著設定好自由度是固定或自由，來表現出幾種拘束條件吧。
首先是「夾持（Clamp）」。這是一種完全固定的拘束條件。受到這個條件所限制的節點，不管發生甚麼，都不可以動。其節點的六個自由度就是全部都為「固定」。在３Ｄ ＣＡＤ軟體所內建的分析模擬軟體中，主要是針對ＣＡＤ的幾何形狀來設定拘束條件。而且大致上都是對於「面」來設定拘束條件。但是如果在一個面上加上「夾持」的拘束條件的話，就會把該面上所有的節點的六個自由度通通固定起來，也就是將該面牢牢黏死。但是這樣的拘束條件，在現實中幾乎是完全不存在的，因此設定時要特別小心。
如圖３，這是一個欄杆的柱子。
圖３ 夾持造成的完全拘束
這種狀況，可以說是完全固定吧。因為柱子被水泥給完全固定住了。像這樣的狀況，只會替柱子伸出於地面上的部份建立模型，一般來說就將其底面拘束起來。換句話說，明明柱子是埋子地底中，但卻省略了地底下的部分。
所以另外一種拘束方法，會是替柱子的全體都建立實體模型，而將埋在地底中的柱子部分設定為不可動。這兩種拘束條件相比，自然是後者更接近現實狀態，所以雖然比較麻煩，但在建立分析模擬模型時，這種拘束條件會更能表現出正確的現實狀態。
此外，就算同樣是欄杆，各個柱子的固定方式也可能不一樣。下圖右邊是柱子底面的部分焊接在鐵板上，而鐵板又用螺栓固定在道路上。當然螺栓也不是直接鎖在道路上。可以想見應該是鎖在埋於道路裡的螺母才對（如圖４）。
圖４ 因為場所不同、柱子的固定的方式也會不同。
這樣的話，右邊的柱子和左邊埋在道路中的相比，不論是結構或固定方式，都變得完全不一樣。
像這樣就算只看一個固定條件，都應該要有種種的考量才行。
再來可以來思考看看球接頭（Ball Joint）這種連接方式該用怎樣的拘束條件來表示。
球接頭，好比說公司的櫃台上給客戶們用來插原子筆的插座，可以用平移方向的每個自由度都是被拘束（不可動），而旋轉方向上的每個自由度都是可自由旋轉的方式來表現其拘束條件。
圖５ 球接頭的例子與固定方法
球接頭是允許每個方向都能自由旋轉，但要是限定旋轉方向的話，就會變成銷接（Pin）。而這個銷接也可以稱為鉸鏈（Hinge），以門板為首、折疊式手機、筆記型電腦、桌上型電腦等等，在身邊各處都很容易看到這種連接機構。
以門板而言是只繞著「軸」來旋轉，可以看成是單軸旋轉自由的拘束條件，而能用銷接（Pin Joint）來表示。
圖６ 銷接表示成拘束條件的方法。
此外，像是拉動式窗戶使用的滑軌，也可以用只有滑動方向的平移自由度設為自由的方式來表現其拘束條件。所以除了以上這些例子之外，還有很多奇怪的拘束條件設定方法。
如果結構、負載與拘束都是對稱的話，就可以將模型分割成若干分之一再來進行模擬。因為既然結構、負載與拘束都是對稱的，就沒有必要將模型全體都拿去模擬計算，時間上可以節省不少。與完整模型的模擬相比，對稱的幾分之一模型一定會大幅縮短模擬時間。換句話說，在跑完整模型的分析模擬時間中，使用對稱的部分模型可以跑好幾個其他的設計案了。
圖７ 利用對稱條件來進行局部的有限元素模型分析模擬
當結構、負載與拘束都是對稱的情形下，將模型切割成若干分之一的設定條件會被稱為「對稱條件」。對於對稱條件來說，還有分面對稱或週期對稱等不同的種類。當要設定這些對稱條件時，就會用到對應的拘束條件。
不過在實際的分析模擬上，結構、負載與拘束都是對稱的狀況，其實相當有限。所以本文僅僅使用文字來介紹而已。
設定外力的負載條件
再來則是負載條件。
設定負載條件時要注意的重要事項只有一個，就是「盡可能忠實反映實際現象」。負載一定是施加在某個面積之上。倒過來說，像一針刺下去那樣的點負載，就有點像是甚麼東西都用菜刀亂砍一樣不切實際，在有限元素法的分析模擬中並不樂見這樣設定。
因此請仔細觀察施加負載的區域，並且將這個受到負載的區域反映到有限元素模型上。對於內建於３Ｄ ＣＡＤ軟體中成為一個模組的分析模擬軟體而言，在建立幾何實體模型時有可能必須要針對負載區域做一些特殊的細微處理（譯註：例如負載的區域可能要故意做出小段差來隔開其他區域）。
再來怎麼假設負載是怎麼分佈在負載區域上也非常重要。負載是均勻分佈在這個區上中？或著不是？都會有很大的區別。
圖８ 負載區域的分佈狀態必須正確表現出來。
總之，「盡可能忠實反映實際現象」地建立負載設定是非常重要的。此外，關於負載還有一點非常重要的東西，就是方向的設定。負載的方向只要稍微發生變化，就會對結構或元件的損害產生非常大的影響。因此負載的方向也必須盡可能忠實反映實際的現象。當然，負載（外力）本來就是向量，所以必須有大小與方向的資料才行。不管數值大小多麼的準確、只要方向指定錯了，這個負載的設定就變得沒意義了。
在正確定義負載的方向時，設定好適當的座標系就會很輕鬆。
圖９ 為了正確定義負載的方向，可以使用不同的座標系
如上圖，出現了負載區域是稍稍傾斜的狀態。如果想施加垂直於這個傾斜區域的負載，為了正確設定負載，必須將負載分解成兩個分量。但是負載是施加於整個面上，要將整個面上的負載都分解成分力，其實非常繁瑣，現實上不可能。
這時候就是設定新座標系的好時機。將座標系設定在沿著負載斜面的方向上，就不需要分解負載，而能輕鬆正確地設定負載。
大部分的分析模擬軟體都有建立座標系的指令，因此設定時就可以選擇這個為了施加負載而做出來的傾斜座標系。當然，拘束條件也可以用同樣的方法來建立。
負載條件和拘束條件，就結果而言都是在處理自由度。但既然有自由度，就不可能忽視其方向。因此請大家一定要有將方向設定正確的意識來設定負載與拘束。
在設計流程中就使用ＣＡＥ的「In Process CAE」思考方式
各位讀者會在甚麼樣的時間開始分析模擬呢？是一直埋首於設計，到全部設計結束後才開始分析模擬嗎？這是一般認為的分析模擬時機。但這樣的時間真的好嗎？曾經有人說過：「既然設計都已經完成，就沒甚麼必要再分析模擬了」－－－這真是一句寓意深奧的話啊。
到底設計者執行分析模擬的時機在甚麼時候比較好呢？如果在設計全部結束後才進行分析模擬，則發現不恰當之處時，要回去修改就會變得工程浩大。所以在設計當中，遇到需要絕對的重要關頭，針對關鍵之處進行分析模擬是不是比較好？我把這樣的模擬流程，稱呼為「In Process CAE」，提議給在決定重大設計參數時作為佐證的時機使用。
圖１０ 在設計各個關鍵處執行分析模擬的In Process CAE
好比說，現在要來設計一個類似連桿這樣的元件。為了決定大概的尺寸與材料，就先跑一次模擬看看。假設有三個構想案，就可以使用模擬來判斷這三個構想案何者符合需求條件。如果在這個時間點就知道哪個方案不可行，可以將回頭修改的程序縮減到最小。畢竟，在這個時間點就不可行的方案，不管未來怎麼繼續努力下去，也是不成立的設計。因為幾何結構越畫詳細下去，剛性就會越來越差。
既然這是個連桿類的元件，連結兩個轉動軸就是這種元件的最大功能。因此為了連接兩個軸就需要兩個孔。這兩個孔姑且稱之為「功能孔」吧。這兩個孔的大小與位置也可以使用分析模擬來決定。
再來則是為了輕量化所做的偷肉設計。那麼該怎麼偷肉、才能讓重量變得最小、還能維持強度呢？這又是一個發揮模擬本質的使用好時機。最後則是修整外型時加上去的圓角，其半徑該畫多大？這當然也可以使用分析模擬來決定。
圖１１ 一面藉著分析模擬來驗證、一面將設計往下展開
如上圖所示，在各個設計關鍵進行分析模擬，就能展開獲得驗證的設計。而在這樣反覆分析模擬的過程中，各位的工程實力也會跟著成長才對。
因此筆者希望各位讀者務必將ＣＡＥ當作自己的設計工具，使之成為自己強力的援軍，而能開發出功能強、獨創性高的產品。
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老栗的「休息一下專欄」：能夠鍛鍊工程設計感覺的Ａｐｐ
最近智慧型手機開始瘋狂流行起來。在電車之中看到玩弄iPhone的人也越來越多了。也是這樣，想要來介紹一個既能當作電玩來輕鬆一下、也能鍛鍊工程設計的感覺的Ａｐｐ。這個Ａｐｐ的名稱叫「SimplePhysics」。在某個條件下，可以在這個Ａｐｐ中設計樹屋、屋頂或是起重機。使用的過程請先參照底下的影片連結。影片中是嘗試設計樹屋的樣子。最終如果能讓四個小孩上去這個樹屋，而超過十秒不會壞的話，就算過關。
雖然不知道這個Ａｐｐ跑出來的結果是否真正符合工程理論，但不覺得這個Ａｐｐ相當生動即時嗎？當然你想要把樹屋弄得多堅固都可以，但畫面上會顯現出使用材料的成本。而全世界在玩這個Ａｐｐ的玩家們，就是在比這個成本的多寡。
Ａｐｐ之中也不允許使用極端長的材料，這個部分也做得很好。而且你可以在實驗模式底下試著拖拉或推壓完成的結構，確認自己的結構要多少Ｎ（牛頓）才會壞。而且拖拉施力時，受到力的元件會漸漸變紅，也是做的非常現實。
然後才是最終試驗。試驗是用模擬小孩子重量的負載一個一個丟到樹屋上去測試結構強度。只要在相當於四個小孩重量的負載下撐過１０秒，就算過關。這是個跨平台的Ａｐｐ，所以不管是ｉＯＳ或是Ａｎｄｒｏｉｄ的系統都能玩。
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這一系列的漫長有限元素法介紹就到此結束。當然還有很多關於分析模擬的技巧可以寫，但在把基本的內容介紹完後，就先告一個段落了。
最近看到某個部落格上有篇「意料之外是工程上最嚴重的罪惡」的文章。光這個標題就夠嚇人了對吧？迄今為止，筆者完全沒想過「意料之外」這個詞竟然會這麼常被用到（譯註：當時日本的汽車產業出了很多問題，相關公司給的說明中都用到了這個詞）。希望ＣＡＥ這個工具能幫助大家減少「意料之外」這個詞的使用機率。
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