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2023年7月7日 星期五

有限元素法入門簡介(05) 分割網格的原理


不過要說明怎麼使用四面體這樣三維立體形狀的東西有點困難,所以這裡拿掉一個維度,改用二維平面的方式來說明。


拿一片長30mm、寬90mm的金屬板當作要說明的元件,作為分析模擬的對象。接下來就要拿它去切割元素了。但要切割要素時,會有像要元素應該要設定多大?等等令人迷網的參數,這次為了簡單給大家明白切割的概念,就用如圖2那樣的30mm*30mm大小的元素來把這個元件切成三個元素。


為了讓元件的形狀在電腦中也能數位化來表示,所以我們得替元件和節點加上編號。加給節點的號碼稱之為「節點編號」,加給元素的編號則稱之為「元素編號」。


圖2 節點編號與元素編號


這個節點編號與元素編號要怎麼取都是個人的自由,這裡為了方便辨認,將節點編號設定成一位數、從1開始;而元素編號是三位數,從101開始。節點編號不允許重複,當然要素編號也不允許。節點編號和要素編號相同則是可以的。


這樣就把元件的形狀在電腦中表示出來的第一階段完成了。


在這個例子雖然是使用三個同樣大小的元素來分割,但實際上元素的大小與形狀會大大左右分析模擬的準確度。元素的大小與形狀就是如此之重要。


2.將元件的形狀於電腦中重現


至此為止,只是給節點與元素編號,讓它們有自己的ID而已。只靠這些還是不足以在電腦中表示出元件的形狀。因為還沒有表示出元素分割的狀態。


那麼,接下趕快也把元素分割用數位的方式表示出來。


圖3 元素分割的數位化


首先從結點開始。


節點用座標值來表示。但為了做出座標值,就需要建立坐標系。座標系要設在哪裡、怎麼設都可以,這裡是把編號1的節點當作原點,水平方向作為X軸、垂直方向作為Y軸。這樣就能將所有的節點都用XY座標值來表示。節點1由於就是原點,所以就記成(X=0,Y=0)。依照這個原則,請將所有的節點的座標數值填入表中的空格。


接下來就是元素了。


元素是用「由哪些節點來構成元素」的方式來表示。比如說元素101是由節點1→節點2→節點6→節點5構成的。這裡重要的,是像圖3中的白色箭頭逆時鐘旋轉一樣,必須依照順序來排列節點。因為,如果將元素寫成節點1→節點2→節點5→節點6的話,元素的形狀就會變成像是扭轉交錯了一樣。請依照同樣的「旋轉順序」,將元素的節點資訊填入空格中。順帶一提,「旋轉順序」是順時鐘方向或逆時鐘方向都無所謂。每一個元素的旋轉方向不一樣也沒關係。


以上就是有限元素法的基本模型製作方式。


怎麼樣?是不是很繁瑣?這裡的元素數量不過三個、節點數也才八個而已呢。這樣應該可以讓大家明白,即便是這樣一個小小的有限元素模型都需要花上滿多時間的。正式用來分析模擬的模型,規模大的甚至會有幾十萬個元素,如果全部都要手動建立的話,光用想的就膩了。如果模型還是立體的版本(圖2是平面的版本而已),數量與整理的工夫會更加龐大。像圖1那樣切掉一半的活塞模型,要切割出四面體元素、將各個頂點標定座標作為節點、再將節點相連起來的作業,如果用人力來執行,也會需要很大量的時間。以筆者剛出社會時,人工建立像這樣的模型,大約都需要十天左右的時間。


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老栗的「休息一下專欄」:曾經也有過這樣的時代


現在雖然可以利用3D CAD建立的圖形來有效率地執行切割元素的作業,但在筆者年輕時,也就是距今將近四分之一世紀前,這個切割元素的作業可是超級辛苦。當時的圖面也不像現在是用CAD畫得漂漂亮亮,主流也是用手繪,並且用稱為「藍燒」的類似拍照的方式複印出來「藍圖」給大家使用。我們就得在藍圖上用鉛筆畫出分割元素的邊界,然後計算出節點的座標。我還記得我的襯衫袖口總會被鉛筆的粉末弄得全黑呢。


而且,那也是個電腦中還沒有繪圖加速卡的時代。所以要檢查建立出來的分割元素是不是有錯,也很麻煩。只要用筆式繪圖機印出分割後的圖形一一確認。我想從建立元素分割模型到檢查完成,恐怕需要現在一百倍以上的時間吧?雖然一直說,有限元素法中的元素非常之重要,但要實際經歷過手動分割作業的過程,才更能有刻骨銘心的深刻印象吧。


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