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在開始使用ＣＡＥ前必須確實學好的有限元素法（４）
使用乒乓球來試著說明六個自由度
一顆放在箱中的乒乓球，用繩子掛在箱中的天花板。其實可以用這顆乒乓球來說明有限元素的某種東西喔。
在前一篇中，說明了相當於有限元素法中主角的三大元素。畢竟有限元素法正如其名所示，主角就是「元素」。因此這裡想要再多說明一點關於元素的內容。
對於元素的內容，就算不知道太深入的東西，當然也是可以跑分析模擬，還是可以得到甚麼結果出來。即便如此，還是想讓大家知道更多關於元素的知識，還是因為有限元素法在最後，還是會因為元素而左右了模擬結果的精度。有限元素就是有其各自的特性，這些特性可是會大大改變分析模擬的結果。換句話說，如果能夠確實地認識元素的內容，知道其特性與傾向，就能更貼近分析模擬的正確結果。雖然可能看起來是有點無聊的文章，還是請大家耐著性子看下去。
１．要如何測定乒乓球的自由活動狀況
節點上有所謂的「自由度」，正如字面的意義一樣，就是用來表示節點可以在哪些方向運動的可能性。節點是用來說明有限元素的必要概念，同樣的道理，自由度就是說明節點的必要概念。也是這樣，首先必須要來說自由度。
如底下的圖所示，請想像有顆乒乓球位在一個長寬高分別為３００ｍｍ、３００ｍｍ、２００ｍｍ的箱中，有根繩子將乒乓球掛在箱中的天花板上。繩子的長度就剛好是箱子高度的一半，１００ｍｍ。
那麼這顆乒乓球會用怎樣的形式來運動呢？為了能「定量」來說明，所以這裡還需要導入「座標系」的概念。
圖１ 乒乓球的中心座標會因為座標系的不同而相異
所謂的座標系，就是一種「給予空間任意一點定量表示的基準」。怎麼建立座標系的方法則是任意自由的。好比說，拿箱子的角落當原點的座標系１（ｘ１，ｙ１，ｚ１），則乒乓球的中心座標就會表示成：
（ｘ１，ｙ１，ｚ１） ＝（１５０，１５０，１００） （單位：ｍｍ）
接下來如果用懸掛乒乓球的細繩在天花板的端點當原點、作為座標系２（ｘ２，ｙ２，ｚ２）的話，乒乓球的中心就表示成下面的樣子：
（ｘ２，ｙ２，ｚ２） ＝（０，０，－１００） （單位：ｍｍ）
從數字來看的座標值是完全不一樣，這是因為座標系不一樣的關係；其實這兩個座標在三維空間中，都是在表示同一位置。
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老栗的「休息一下專欄」：緯度、精度是甚麼？
像這次使用的、由三軸垂直相交形成的座標系就稱為「正交座標系」。空間上任意一點全部都可以使用這種正交座標系來表示。但是使用正交座標系時，也會遇上圓筒或球這樣有點麻煩的情形。這也是為什麼要定義正交坐標系以外的座標系的原因。好比說，你於地球上所在的位置．．．對！就是你的座標該怎麼表示呢？沒錯！就是用「緯度．經度」來表示！汽車導航系統就是用透過人工衛星來算出你的緯度與經度，才能標定出你的車的位置。在這裡，與其讓我慢慢來說明何謂緯度與經度是甚麼，不如去看富有插畫搭配說明的網站：
如果去看過這個網頁的話，可能會稍稍有點驚訝，因為從２００１年起，緯度與經度發生變化了。就距離而言，偏差了４００公尺出頭，我完全不知道有這件事呢。
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言歸正傳，還是回來看「掛在箱中的乒乓球」吧。這顆乒乓球，到底會往哪個方向動呢？
用感覺來說「會往那邊、會往這邊」，恐怕很難讓人聽懂，為了用定量的方式讓敘述好進行下去，所以我們試著乒乓球的中心設定個正交坐標系。這樣就能讓乒乓球移動的方向給出定量的描述。
圖２ 在乒乓球中心設置坐標系
有了坐標系後，不管乒乓球動到甚麼位置，都可以用座標表示出來了。就算是懸掛乒乓球的繩子斷了、讓乒乓球掉到箱子中的甚麼地方，也可以用座標表示其位置。甚至，就算乒乓球跳出箱子了，也可以用座標來標定位置。
乒乓球也有不旋轉、只滑動的情形。一般就把這個滑動稱為「平移」，只用X、Y、Z座標值就能表示。當然乒乓球也會旋轉，將旋轉的方向對應到X、Y、Z方向上，分別以旋轉角θx，θy，θz來表示。
當乒乓球懸掛在繩子下的時候，平移Ｘ的正負方向、平移Ｙ的正負方向以及平Ｚ的只有正向可以移動。乒乓球的平移Ｚ沒有負方向，是因為乒乓球被繩子懸吊著，「無法移動到超過繩子長度以上的地方」。
就算是乒乓球的繩子斷了，其位置還是可以用平移Ｘ、Ｙ、Ｚ與旋轉角θx，θy，θz來表示。這裡表示出乒乓球可以自由運動程度的指標，就是自由度。由於有平移三個方向、旋轉三個方向，總計六個方向，因此稱為「６自由度」。
看到這裡我想大家應該都很清楚才對，打算分析模擬的物體元件，其實就是節點與元素的集合體。所以「在元件上施加荷重造成元件變形」這件事，在分析模擬中其實就等於「節點在動」。既然節點在動，就必須定量地量測出節點移動的量。既然要定量地量測，自然就需要座標系。所以也藉由坐標系來說明節點會有六個方向動作的可能性。
接下來，請將前面舉例的乒乓球置換成節點，也就是說把乒乓球當作是節點。在總結這個段落時，請記得以下的事項：
圖３ 決定元素內任意點變形量的形狀係數
那就是中間節點的數量決定了元素的精度。一個中間節點都沒有的元素，則稱為「一階元素」。置於中間有一個節點的元素，則稱為「二階元素」。那麼有沒有「三階元素」呢？．．．答案是有的。只不過，一般的有限元素法模擬中最多用到二階元素而已。
一般給設計者使用的有限元素法模擬軟體都可以用到一階元素或二階元素，但使用三階元素的，至少筆者是沒有看過的。
圖４ 元素的階數提升的話，精度也會變好
雖然圖４是以四邊形薄殼元素為例，但實際上三大有限元素全部都有一階元素和二階元素的版本。甚至也有三階元素，但筆者沒有在給設計使用的模擬軟體中看過，所以以下還是解說到二階元素就好。
以下就分別將桿、薄殼、實體元素的一階、二階版本整理如下表：
圖５ 三大有限元素與階數整理表
上表中不管哪一個二階元素都被畫成有點變形的樣子，這是因為中間節點不必要位於連結兩頂點的直線上的關係。也是這樣，才有可能畫成這樣有點變形的樣子。
這裡用「變形」這個詞來描述，可能會給大家一點不好的印象，其實只是要說明「元素的形狀是柔軟有彈性的」。要將元件切割元素時，如果只使用一階元素的話，因為要素都是直線的邊，而元件表面又多是曲面的話，一階元素就很難正確表示出原始的形狀。好比說，如果想盡量準確貼近圓孔的樣子，就不得不將元素的數量割細一點。但使用二階元素時，就可以比一階元素更加容易近似元件原本的曲面形狀。
圖６ 元件形狀（虛線）與切割元素的階數
３．好與壞
令人遺憾的是世間所有的事物都存在著「好與壞」的區別。好比說，有好吃的番茄，就會有難吃的番茄；有好的餐廳，也會有糟糕的餐廳。決定產品好壞的原因，則是各式各樣。就像手機這種產品，接收訊號的好壞或通話品質就是決定這支手機好與壞的重要關鍵之一。
至於有限元素，當然也有好壞之分。造成好壞差異的關鍵，完全就在於其精度。
在這裡我們就先來看看實體元素的精度吧。傳統上大家都比較喜歡六面體實體元素，因為六面體和其他元素相比，是精度比較高的元素。相對地，四面體就被認為是相對精度比較不好地元素。以上這兩件事，請大家先放在心裡，然後繼續看下去。
由設計者自行進行分析模擬的重點之一，就是有限元素的自動切割網格。正如之前提到的過的一樣，在分析模擬的過程中，切割有限元素網格是非常麻煩而花時間的作業。如果有辦法縮短切割網格的時間，就等於能夠直接縮短整個模擬的時間。所以就有了許許多多關於自動切割有限元素網格的研究，然後實際套用到了給設計者使用的ＣＡＥ軟體中。
如果是桿元素，就像是刻出線條一樣，自動分割網格會非常簡單。對於薄殼元素而言，其實也已經確立了在自由曲面上分割出整齊漂亮網格的方法，至少可以說是到了非常實用的水準。
那麼實體元素又如何呢？可說是實體元素模範生的六面體元素，要自動切割出任意形狀物體的網格基本上就是一件無理的事情。如果要將元件的形狀大致先用六面體元素切割過的話，就非得手動操作不可。如果打算將物體完全自動化切割網格的話，則是得先用四面體切割過、讓元素的內部產生節點，再勉強將四面體轉換成六面體。但這樣做，會產生出類似楔子那樣細長型的不好六面體元素出來．．．．。
如前所述，要研究出將任意形狀切割出漂亮的六面體元素之技術，其實已經花費四分之一世紀以上的時間了，但直到現在仍未找出「就是這個沒錯了」的解答。
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老栗的「休息一下專欄」：筆者推薦的模範生
當筆者寫出「元素也有好壞之分」時，突然就回想到了大學時代程度屬於放牛班的自己。我大學的時候，必修的材料力學被當掉，只好重修。可能也是這樣的經驗給自己刺激（？），才能將用自己的方式理解出來的材料力學知識轉化為插圖筆記，再以這個筆記為基礎，寫出了材料力學的介紹連載。從這個角度來看，那個材料力學的連載完全就是以劣等生的視角來創作的。不過，「不管怎樣，我就是想學會材料力學」的心情，是絕對不輸給模範生們的。不過，這裡要介紹兩個有許多豐富內容的模範生網站：
ＣＡＥ情報局（譯註：此網站目前已經終止服務）
其實這兩個網站都是由ＪＩＫＯ先生建立管理的，內容包含了材料力學的講座、ＪＩＫＯ先生自己開發的ＣＡＥ軟體下載（免費）。ＪＩＫＯ先生雖然是模範生，但是「想將ＣＡＥ更加推廣到全世界去」的心情和我是一致的。所以可以將他的網站當作是本文的進階閱讀網站，務必參考看看。
＊譯註：這個網站當然是以日文寫成，請搭配翻譯軟體使用。
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